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\title{$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $}
\date{ \today}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\chapter{Vorbemerkungen}
In vielen Büchern wird versucht die Teilmengenbeziehung 
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ und $\mathbb{R} \subset \mathbb{C} $ 
mit Hilfe der sogenannten Identifikation zu begründen.\\
Hier wird der Versuch gemacht, das formal korrekter zu machen.

\section{Die Grundidee} 
Es sei $\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq \dq vier \dq, 5, 6, 7, 8, , ....\}$ eine (ungewohnte) Kodierung der  Menge der natürlichen Zahlen.\\
Angenommen man will die Menge $\{0,1,2,3,4\}$ in die Menge
$\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq,  \dq vier \dq, 5, 6, 7, 8, , ....\}$ einbetten, 
d.h. zur Teilmenge machen, dann geht das nicht so einfach, weil keine Teilmengenbeziehung vorliegt.\\
Man kann aber diese (ungewohnt) kodierte Menge der natürlichen Zahlen entsprechend umkodieren \\
d.h. dort die Menge $\{\dq null \dq, \dq eins \dq, \dq zwei \dq, \dq drei \dq, \dq vier \dq \}$ durch $\{0,1,2,3,4\}$  ersetzen \\
und bekommt dann die (bekannte Notation der) Menge der natürlichen Zahlen $\{0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....\}$. \\
Dann hat man Menge $\{0,1,2,3,4\}$ in die (bekannte Notation der) Menge der \\
natürlichen Zahlen $\{0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....\}$ eingebettet.


\section{Satz-1} 
Sei M eine Menge, $\mathbb{G}=(G,+)$ eine Gruppe und $\Phi: G \mapsto M$ eine Bijektion. \\
Seien $x,y \in M$ und $\oplus$ eine Verknüpfungen auf M, mit:\\
$x \oplus y = \Phi(\Phi^{-1} (x) + \Phi^{-1}(y))$ \\

Dann ist $\mathbb{M}=(M,\oplus)$ eine Gruppe und $\Phi$ ein Isomorphismus.

\section{Satz-2} 
Sei M eine Menge, $\mathbb{K}=(K,+,\cdot)$ ein Körper und $\Phi: K \mapsto M$ eine Bijektion. \\
Seien $x,y \in M$ und $\oplus$ bzw. $\otimes$ Verknüpfungen auf M mit:\\
$x \oplus y = \Phi(\Phi^{-1} (x) + \Phi^{-1}(y))$ \\
$x \otimes y = \Phi(\Phi^{-1} (x) \cdot \Phi^{-1}(y))$ \\

Dann ist $\mathbb{M}=(M,\oplus, \otimes)$ ein Körper und $\Phi$ ein Isomorphismus. \\ \\

siehe:\\
http://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/gubisch/de/teaching/ws1011/exercises01.pdf


\section{Satz-3} 
Sei S eine Menge mit n Verknüpfungen $\odot_{i}$ und S mit\\
$S=\bigcup\limits_{x \in R} K(x) $ \\
eine Zerlegung in paarweise verschiedene Äquivalenzklassen mit Repräsentanten $x \in R \subset S$\\
Genau dann definiert \\
$K(a) \odot_{i}  K(b) = K(a \odot_{i} b)$ für jedes i mit $1 \le i \le n$ mit $a,b \in S$ eine Verknüpfung auf $\{K(x) \mid x \in R\} $\\
wenn:\\
die durch die Zerlegung von S induzierte Äquivalenzrelation eine Kongruenzrelation auf S ist.\\


\section{Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$}
Die bekannte Menge $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4, ....  \} $ \\
mit ihren bekannten Verknüpfungen + und $\cdot$ wird als die 
Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet.


\chapter{Konstruktion von $\mathbb{Z} \supset \mathbb{N}$ aus $\mathbb{N}$}
\section{Um was es geht} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird, eine (aus der Schule bekannte) ganze Zahl der Form a-b \\
als ein Paar (a,b) zu formalisieren.\\
So einfach geht das nicht,denn dann wäre z.B. 3-7 = 4-8, also (3,7) = (4,8).\\
Diese 2 Paare sind aber verschieden.\\
Deshalb definiert man eine Äquivalenzrelation auf den Zahlenpaaren, wobei zwei Zahlenpaare äquivalent sind,
wenn ihre Differenz gleich ist. Also:\\
$(a,b) \sim (c,d) \Longleftrightarrow a-b=c-d$ \\
Da die Differenz nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\
Formale Spezifikation:\\
$(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a+d=c+b$ \\
Eine ganze Zahl a-b wird dann als die Äquivalenzklasse [a,b] :=  K((a,b)) formalisiert.


\section{Konstruktion von M} 
$M := \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 

\subsection{Verknüpfung auf M} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird die Addition zweier ganzer Zahlen a-b und c-d so durchzuführen:\\
a-b + c-d = a+c - (b+d) \\
Da die Differenz  nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\
Formale Spezifikation:\\
$(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)$

\subsection{Äquivalenzrelation auf M} 
siehe oben:\\
$(a,b) \sim  (c,d) :\Longleftrightarrow a+d=b+c$

\section{Konstruktion von A als Menge der Äquivalenzklassen auf M} 
\subsection{A := Menge der Äquivalenzklassen auf M} 
$A := \{K([x,y]) \mid x,y \in \mathbb{N}\}$ \\ 

Die folgenden Elemente bilden ein vollständiges Repräsentantensystem der obigen Äquivalenzklasse: \\
(0,k) , (k,0)  mit $k \in \mathbb{N}$ , also:\\
$A=\{K([(0,k)] \mid k \in \mathbb{N} \} \quad \cup \quad  \{K([(k,0)] \mid k \in \mathbb{N} \}  $ \\


\pagebreak
\subsection {Verknüpfung auf A} 
Die Äquivalenzrelation auf M ist eine Kongruenzrelation.\\
Deshalb ist nach Satz-3 die folgende Verknüpfung auf den Äquivalenzklassen definiert:\\
$[a,b] + [c,d] := [a+c, b+d] $\\
D.h. die Verknüpfung + auf M läßt sich auf die Äquivalenzklassen "erweitern". \\

Bemerkung:\\
Für die Verknüpfung + in $\mathbb{N}$, M und A  werden jeweils die gleichen Zeichen + verwendet.


\subsection{A ist eine Gruppe} 
Man kann zeigen, dass A eine Gruppe ist mit:\\
$[h,h]$ ist Einselement und [b,a] ist das Inverse von $[a,b]$ 

\section{Konstruktion von $\mathbb{Z}$ als isomorphes Bild von A} 
\subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird in A die Menge $T := \{[a+h,h] \mid a \in \mathbb{N} \land  h \in \mathbb{N} \}$ \\ 
durch $\mathbb{N}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von A ist. \\ 

Formal:\\
$T := \{[a+h,h] \mid a \in \mathbb{N} \land  h \in \mathbb{N} \}$ \\
$\mathbb{Z} :=  \mathbb{N} \cup (A \setminus T) $\\
$\Phi: A \to \mathbb{Z}$ mit: \\
$\Phi([a,b]) := [a,b]$ \quad \quad falls $[a,b] \in A \setminus T$  \\
$\Phi([a+h,h]) := a$ \quad \quad sonst  \\ 
Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\
Man definiert die Verknüpfung $\oplus$ auf $\mathbb{Z}$:\\
$a \oplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) $


Nach Satz-1 ist $\mathbb{Z}$ damit eine Gruppe mit der Verknüpfung $\oplus$ und $\mathbb{Z}$ und A sind isomorph.


\subsection{Eigenschaften von $\mathbb{Z}$} 
1)\\
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ \\ \\
2) \\
$\mathbb{Z} = \{a \oplus b^{-1} \mid a,b \in \mathbb{N}\}$ \\ 

Beweis: \\
1)
klar\\

2) \\
a) \\
Es gilt:
$\Phi([x,y]) = x \oplus y^{-1}$ \\
Denn:\\
$\Phi([x,y]) = \Phi([x,0] + [0,y]) = \Phi([x,0] + [y,0]^{-1})= \Phi([x,0]) \oplus \Phi([y,0]^{-1}) = \Phi([x,0]) \oplus (\Phi([y,0]))^{-1} \\
= x \oplus y^{-1}$ \\ \\
$\Phi([x+h,h]) = \Phi([x+h+h,h+h]) = \Phi([x+h,h] + [h,h]) = \Phi([x+h,h] + [h,h]^{-1})=
\Phi([x+h,h] \oplus \Phi([h,h]^{-1}) = \Phi([x+h,h] \oplus (\Phi([h,h]))^{-1}\\
=x \oplus 0^{-1}$ \\
\pagebreak

b) \\
$z \in LS  \iff \exists a,b \; z=[a,b]=\Phi([a,b])=a \oplus b^{-1} \in RS  \quad \lor $ \\
\noindent\hspace*{23mm}%
$\exists a \; z = a =\Phi([a+h,h]) = a \oplus 0^{-1} =a \in RS$. \\
\noindent\hspace*{13mm}%
$\iff z \in RS$ 


\subsection{Abkürzung} 
$a \oplus b^{-1}$ kürzt man durch $a-b$ ab. \\
also: \\
$a-b := a \oplus b^{-1}$  

\subsection{Multiplikation auf $\mathbb{Z}$} 
Man definiert eine Verknüpfung $\otimes$ auf $\mathbb{Z}$ mit:\\
$a \otimes 0 := 0$\\
$a \otimes -b := -(a \cdot b)$\\
$-a \otimes -b := a \cdot b$\\
$a \otimes (b-c) := a \cdot b - a \cdot c$\\ \\
Analog für $0 \otimes a$, usw.\\ \\

Man kann man das Erfülltsein des Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz zeigen. \\
Damit ist $\mathbb{Z}$ ein kommunitativer Ring.


\chapter{Konstruktion von $\mathbb{Q} \supset \mathbb{Z}$ aus $\mathbb{Z}$}
\section{Um was es geht} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird, eine (aus der Schule bekannte) rationale Zahl der Form a/b\\
als ein Paar (a,b) zu formalisieren.\\
So einfach geht das nicht,denn dann wäre z.B. 3/7 = 6/14, also (3,7) = (6,14).\\
Diese 2 Paare sind aber verschieden.\\
Deshalb definiert man eine Äquivalenzrelation auf den Zahlenpaaren, wobei zwei Zahlenpaare äquivalent sind,
wenn ihr Quotient gleich ist. Also:\\
$(a,b) \sim (c,d) \Longleftrightarrow a/b=c/d$ \\
Da der Quatient nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\
Formale Spezifikation:\\
$(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a \cdot d=b \cdot c$ \\
Eine rationale Zahl a/b wird dann als die Äquivalenzklasse [a,b] :=  K((a,b)) formalisiert.


\section{Konstruktion von M} 
$M := \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_{0} =  \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})$ 

\subsection{Verknüpfung auf M} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird die Addition und Multiplikation zweier rationaler Zahlen a/b und c/d so durchzuführen:\\
a/b + c/d = (ad+bc)/bd\\
$a/b \cdot c/d = ac/bd$\\
Da der Quotient  nicht definiert ist, formt man um und erhält die:\\ \\
Formale Spezifikation:\\
(a,b) + (c,d) = (ad+bc , bd)\\
$(a,b) \cdot (c,d) = (ac , bd)$\\ 

Bemerkumg:\\
Für die Verknüpfungen + und $\cdot$ in M und A  werden jeweils die gleichen Zeichen + und $\cdot$ verwendet.

\subsection{Äquivalenzrelation auf M} 
siehe oben:\\
$(a,b) \sim (c,d) :\Longleftrightarrow a \cdot d=b \cdot c$ \\

\pagebreak
\section{Konstruktion von A als Menge der Äquivalenzklassen auf M} 
\subsection{A := Menge der Äquivalenzklassen auf M} 
$A := \{K([x,y]) \mid (x,y) \in M \}$ 

\subsection {Verknüpfung auf A} 
Da gilt:\\
$(a,b) \sim (c,d) \land (a',b') \sim (c',d') \Longrightarrow (a,b) + (a',b') \sim (c,d) + (c',d')$ \\
und \\
$(a,b) \sim (c,d) \land (a',b') \sim (c',d') \Longrightarrow (a,b) \cdot (a',b') \sim (c,d) \cdot (c',d')$ \\


Die Äquivalenzrelation auf M ist eine Kongruenzrelation.\\
Deshalb sind nach Satz-3 die folgende Verknüpfungen auf den Äquivalenzklassen definiert:\\
$[a,b] + [c,d) = [ad+bc , bd]$\\
$[a,b] \cdot [c,d] = [ac , bd]$\\ 

D.h. die Verknüpfungen +  und $\cdot$ auf M lassen sich auf die Äquivalenzklassen "erweitern". \\ 

Bemerkung:\\
Für die Verknüpfungen + und $\cdot$ in M und A  werden jeweils die gleichen Zeichen + und + und $\cdot$ verwendet.

\subsection{A ist ein Körper} 
Man kann zeigen, dass A ein Körper ist mit:\\
$[0,h]$ ist Nullelement und $[-a,b]$ additives Inverses von $[a,b]$ \\
$[h,h]$ ist Einselement und $[b,a]$ multiplikatives Inverses von $[a,b]$  (mit $[a,b] \neq 0$) 

\section{Konstruktion von $\mathbb{Q}$ als isomorphes Bild von A} 
\subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird in A die Menge $T := \{[ah,h] \mid a \in \mathbb{Z} \land  h \in \mathbb{Z} \}$ \\ 
durch $\mathbb{Z}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von A ist. \\ 

Formal:\\
$T := \{[ah,h] \mid (ah,h) \in M \}$  \\
$\mathbb{Q} :=  \mathbb{Z} \cup (A \setminus T) $\\
$\Phi: A \to \mathbb{Q}$ mit: \\
$\Phi([a,b]) := [a,b]$ \quad \quad falls $[a,b] \in A \setminus T$  \\
$\Phi([ah,h]) := a$ \quad \quad sonst  \\ 
Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\
Man definiert die Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ auf $\mathbb{Z}$:\\
$a \oplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) $ \\
$a \otimes b := \Phi(\Phi^{-1}(a) \cdot  \Phi^{-1}(b)) $ \\

Nach Satz-2 ist $\mathbb{Q}$ damit ein Köroer mit den Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ und $\mathbb{Q}$ und A sind isomorph.

\pagebreak
\subsection{Eigenschaften von $\mathbb{Q}$} 
1)\\
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ \\ \\
2) \\
$\mathbb{Q} = \{a \otimes b^{-1} \mid a,b \in {Z}\}$ \\ 

Beweis: \\
1)
klar \\ 



2) \\
a) \\
Es gilt:
$\Phi([x,y]) = x \otimes y^{-1}$ \\
Denn:\\
$\Phi([x,y]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,yh]) = \Phi([xh,h] \cdot [yh,h]^{-1})= \Phi([xh,h]) \otimes \Phi([yh,h]^{-1}) = \Phi([xh,h]) \otimes (\Phi([yh,h]))^{-1} \\
= x \otimes y^{-1}$ \\

$\Phi([xh,h]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,h]) = \Phi([xh,h] \cdot [h,h]^{-1})= \Phi([xh,h]) \otimes \Phi([h,h]^{-1}) = \Phi([xh,h]) \otimes (\Phi([h,h]))^{-1} \\
= x \otimes 1^{-1}$ \\


b) \\
$z \in LS  \iff \exists a,b \; z=[a,b]=\Phi([a,b])=a \otimes b^{-1} \in RS  \quad \lor $ \\
\noindent\hspace*{23mm}%
$\exists a \; z = a =\Phi([ah,h]) = a \otimes 0 \otimes [h,h] =a \in RS$. \\
\noindent\hspace*{13mm}%
$\iff z \in RS$ \\


\subsection{Abkürzung} 
$a \otimes b^{-1}$ kürzt man durch $a/b$ ab. \\
also: \\
$a/b := a \otimes b^{-1}$  




\chapter{Konstruktion von $\mathbb{C} \supset \mathbb{R}$ aus $\mathbb{R}$}
\section{Konstruktion von C aus $\mathbb{R}$}
$\mathbb{R}$  ist ein Körper mit den Verknüpfungen + und $\cdot$ \\
Definiere:\\
$C := \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ \\ 
$(a,b) \oplus (c,d) := (a+c,b+d)$ \\
$(a,b) \otimes (c,d) := (a \cdot c - b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)$ \\
kurz: \\
$(a,b) \otimes (c,d) := (a c - b  d, a  d + b  c)$ 

\subsection {Satz1}
$(C,\oplus,\otimes)$ ist ein Körper

\subsection{Konstruktion eines Isomorphismus} 
Informal:\\
Beabsichtigt wird in C die Menge $T := \{(r,0)  \mid r \in \mathbb{R}\}$ \\ 
durch $\mathbb{R}$ zu ersetzen, wobei die sich dann ergebende Menge dann ein isomorphes Bild von R ist. \\ 

Formal:\\
$i := (0,1)$ \\
$T := \{(r,0)  \mid r \in \mathbb{R}\}$\\
$\mathbb{C} :=  \mathbb{R} \cup (C \setminus T) =  \mathbb{R} \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \mathbb{R} \times \{0\})$\\
$\Phi: C \to \mathbb{C}$ mit: \\
$\Phi((a,b)) := (a,b)$ \quad \quad falls $(a,b) \in C \setminus T$  \quad d.h. $b \neq 0$\ \\
$\Phi((a,b)) := a$ \quad \quad sonst \quad d.h. b=0  \\ 
Damit ist $\Phi$ eine Bijektion.\\
Man definiert die Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ auf $\mathbb{C}$:\\
$a \oplus b := \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) $\\
$a \otimes b := \Phi(\Phi^{-1}(a) \cdot \Phi^{-1}(b)) $

Nach Satz-2 ist $\mathbb{C}$ damit ein Körper mit den Verknüpfungen $\oplus$ und $\otimes$ und $\mathbb{C}$ und C sind isomorph.


\subsection{Eigenschaften von $\mathbb{C}$} 
1)\\
$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ \\ \\
2) \\
$\mathbb{C} = \{a \oplus b \otimes i \mid a,b \in \mathbb{R} \} $ \\

3) \\
$a \oplus b = a +b$ \quad falls $a,b \in \mathbb{R} $ \\ \\


Beweis: \\
1) \\
 klar \\

2) \\
a) \\
Es gilt:
$\Phi((x,y)) = x \oplus y \otimes i$ \\
Denn:\\
$\Phi((x,y)) = \Phi((x,0)) +(0,y))= \Phi((x,0)) +(y,0) \cdot i) = \Phi((x,0)) \oplus \Phi((y,0)) \otimes \Phi(i)) = x \oplus y \otimes i$ \\

b) \\
$z \in LS  \iff \exists a,b \; z=(a,b)=\Phi((a,b))=a \oplus b \otimes i \in RS  \quad \lor $ \\
\noindent\hspace*{23mm}%
$\exists a \; z = a =\Phi((a,0)) = a \oplus 0 \otimes i =a \in RS$. \\
\noindent\hspace*{13mm}%
$\iff z \in RS$ \\

3) \\
$a \oplus b = \Phi(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)) = \Phi((a,0) + (b,0)) = \Phi((a+b,0)) = a+b$

\end{document}
