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\title{Konstruktionsfehler einer kapitalistischen Ökonomie}

%\date{ \today}

\begin{document}

%\maketitle
%\tableofcontents
\chapter{Aufgabe (nicht leicht)}
Aufgabe:
Berechnen Sie Fläche A(a,b,c) eines Dreiecks in Abhängigkeit von den 3 Seitenlängen\\ $a>0,b>0,c>0$. \\
Geben Sie eine Formel für A(a,b,c) an, in der nur a,b,c vorkommt. \\ \\
Tipp:\\
Verwenden des Kosinusssatz, Höhensatz $(h^2=p \cdot q$ und $(\sin(\alpha))^2+ (\cos(\alpha))^2=1$ \\ \\

\begin{tikzpicture}
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (2,4) node[above, midway, black]{a};
        \draw[ line width=1pt] (2,4) -- (6,2) node[above, midway, black]{b};
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (6,2) node[below, midway, black]{c};
        \draw[ line width=1pt] (2,4) -- (2,2) node[above, midway, black]{h};
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (2,2) node[above, midway, black]{p};
        \draw[ line width=1pt] (2,2) -- (6,2) node[above, midway, black]{q};
        \draw[thick,black] ([shift=(0:0.8cm)]0,2) arc (0:48:0.8cm);
        \draw[thick,black] ([shift=(180:1.5cm)]6,2) arc (180:155:1.5cm);
        \node at (0.5,2.2) {$\alpha$};
        \node at (5,2.2) {$\beta$};
\end{tikzpicture}   



\chapter{Lösung}
\section{Lösung 1}
\begin{tikzpicture}
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (2,4) node[above, midway, black]{a};
        \draw[ line width=1pt] (2,4) -- (6,2) node[above, midway, black]{b};
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (6,2) node[below, midway, black]{c};
        \draw[ line width=1pt] (2,4) -- (2,2) node[above, midway, black]{h};
        \draw[ line width=1pt] (0,2) -- (2,2) node[above, midway, black]{p};
        \draw[ line width=1pt] (2,2) -- (6,2) node[above, midway, black]{q};
        \draw[thick,black] ([shift=(0:0.8cm)]0,2) arc (0:48:0.8cm);
        \draw[thick,black] ([shift=(180:1.5cm)]6,2) arc (180:155:1.5cm);
        \node at (0.5,2.2) {$\alpha$};
        \node at (5,2.2) {$\beta$};
\end{tikzpicture}   \\
Nach dem Kosinussatz gilt:\\
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\sin(\beta)$ \\
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\sin(\alpha)$ \\
also:\\
$sin(\beta)=\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc}$ \quad (G1)\\ 
$sin(\alpha)=\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac}$ \quad (G2)\\ 
Es gilt: \\
$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1$\\ also: \\
$\cos(\alpha)=\sqrt{1-sin(\alpha)^2} $ \quad (G3)\\ 
$\sin(\beta)^2+\cos(\beta)^2=1$\\ also: \\
$\cos(\beta)=\sqrt{1-sin(\beta)^2} $ \quad (G4)\\ 
Es gilt:\\
$\frac{p}{a}=\cos(\alpha)$ also:\\
$p=a \cos(\alpha)$ und mit (G3) $p=a \sqrt{1-sin(\alpha)^2}$\\
$\frac{q}{b}=\cos(\beta)$ also:\\
$q=b \cos(\beta)$ und mit (G4) $q=b \sqrt{1-sin(\beta)^2}$\\
(G1) und (G2) eingesetzt ergibt dann:\\
$p=a \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}$ \\
$q=b \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2}$
Nach dem Höhesatz gilt:\\
$h^2=pg$ also:
$h=\sqrt{pq}$ und damit:\\
$h=\sqrt{a \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  b \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } = \sqrt{a  b \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } $ \\
Da für die Fläche A gilt: \\
$A=h \cdot \frac{c}{2}$, folgt: \\
$A= \sqrt{a  b \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } \cdot \frac{c}{2}$ \\ \\
\newpage

\section{Lösung 2}
Es gelten die folgenden 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten p,q,h:\\
$h^2+p^2=a^2$ \\
$h^2+q^2=b^2$ \\
$c=p+q$ \\
Daraus folgt dann:\\
$h^2=a^2-p^2$ \\
$h^2=b^2-q^2$ \\
also:\\
$a^2-p^2=b^2-q^2$ \\
$p=c-q$\\
also:\\
$a^2-(c-q)^2=b^2-q^2$ \\
$a^2-c^2+2cq-q^2=b^2-q^2$ \\
also:\\
$q=\frac{b^2-a^2+c^2}{2c}$ \\
und damit: \\
$h^2=b^2-(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c})^2$ \\
also:\\
$h=\sqrt{b^2-(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c})^2}$ \\
also:\\
$A=\sqrt{b^2-(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c})^2} \cdot \frac{c}{2}$

\chapter {Beispiele}
\section{Beispiel 1}
a=3, b=4, c=5 \\
Dies ist ein rechtwinkliges Dreieck, von dem sofort die Fläche berechnet werden kann:\\
$A= \frac{3 \cdot 4}{2}=6$ \\ \\
Nach obiger Formel gilt: (a=3,b=4, c=5)\\
$A= \sqrt{a  b \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } \frac{c}{2}$ =
 \\
$\sqrt{3 \cdot 4 \sqrt{1-{(\frac{3^2 + 5^2-4^2} {2\cdot 3 \cdot 5})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{4^2 + 5^2-3^2} {2 \cdot 4 \cdot 5})}^2} } \frac{5}{2}$ =6
 \\

\section{Beispiel 2}
Für ein gleichseitiges Dreieck mit den 3 Seitenlängen g gilt:\\
$A= \frac{\sqrt {3}}{4} \cdot g^2$ \\ \\
Nach obiger Formel gilt: (a=b=c=g)\\
$A= \sqrt{a  b \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } \frac{c}{2}$ =
 \\
$\sqrt{g^2 \sqrt{1-{(\frac{g^2 + g^2-g^2} {2g^2})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{g^2 + g^2-g^2} {2g^2})}^2} } \frac{g}{2}$ = \\
$\frac{\sqrt {3}}{4} \cdot g^2$

\chapter {Aufgabe}
Nach dem Satz von Heron kann man die Fläche auch nach der folgenden Formel berechnen:\\
$A=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(a+b+c) \cdot (-a+b+c) \cdot (a-b+c) \cdot (a+b-c)}$ \\ \\
siehe:\\
\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron} \\ \\
Zeige, daß folgenden Gleichungen für alle $a>0, b>0,c>0$ äquivalent sind: \\
$A=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(a+b+c) \cdot (-a+b+c) \cdot (a-b+c) \cdot (a+b-c)}$ \\
und \\
$A= \sqrt{a  b \sqrt{1-{(\frac{a^2 + c^2-b^2} {2ac})}^2}  \sqrt{1-{(\frac{b^2 + c^2-a^2} {2bc})}^2} } \cdot \frac{c}{2}$ \\ 
und \\
$A=\sqrt{b^2-(\frac{b^2-a^2+c^2}{2c})^2} \cdot \frac{c}{2}$

\end{document}
